শ্রেণি – দশম | বিভাগ – গণিত | অধ্যায় – লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone) | Lombo Brittakar Shongku (Chapter 16)
এই পর্বে রইল দশম শ্রেণির লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু অধ্যায়ের কষে দেখি 16 থেকে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার আলোচনা।
1. করিম একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছে যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি.। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান- লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ (r) = 15 cm, তির্যক উচ্চতা (l) = 24 cm
∴ পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(= \pi rl\) বর্গসেমি \(=\frac{22}{7}\times 15 \times 24\) বর্গসেমি
= 1131.43 বর্গসেমি
শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(= (\pi rl + \pi r^2)\) বর্গসেমি
\(= \pi r (r + l) = \frac{22}{7} \times 15 \times (24 + 15)\) বর্গসেমি
= 1838.57 বর্গসেমি
উত্তর- ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 1131.43 বর্গসেমি ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1838.57 বর্গসেমি।
আরো পড়ো → বিশ শতকের কৃষক, শ্রমিক ও বামপন্থী আন্দোলন অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর
2. কোনো শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা যথাক্রমে 6 সেমি. ও 10 সেমি. হলে, শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধান- শঙ্কুর উচ্চতা (h) = 6 cm, তির্যক উচ্চতা (l) = 10 cm
∴ ব্যাসার্ধ \((r) =\sqrt{l^2-h^2}\) cm \(= \sqrt{10^2-6^2}\) cm = 8 cm
∴ শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(= (\pi rl + \pi r^2)\) বর্গসেমি
\(= \pi r (r + l)\) বর্গসেমি \(=\frac{22}{7} \times 8 \times (10 + 8)\) বর্গসেমি
\(= 452\frac{4}{7}\) বর্গসেমি
∴ শঙ্কুটির আয়তন \(= \frac{1}{3} \pi r^2h\) ঘনসেমি
\(= [\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times (8)^2 \times 6]\) ঘনসেমি \(= 402\frac{5}{7}\) ঘনসেমি
উত্তর- শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(452\frac{4}{7}\) বর্গসেমি ও আয়তন \(402\frac{5}{7}\) ঘনসেমি।
3. কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন (100π) ঘন সেমি. এবং উচ্চতা 12 সেমি. হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা কত?
সমাধান- শঙ্কুর উচ্চতা (h) = 12 cm, আয়তন \(= (100\pi)\) ঘনসেমি
ধরি, ব্যাসার্ধ = r cm
∴ \(\frac{1}{3} \pi r^2h = 100\pi\)
বা, \(\frac{1}{3}\pi r^2 \times 12 = 100\pi\)
বা, \(r^2 =\frac{100 \times 3}{12} = 25\)
∴ r = 5
∴ তির্যক উচ্চতা \(=\sqrt{h^2+r^2}\) cm \(=\sqrt{12^2+5^2}\) cm \(=\sqrt{169}\) cm = 13 cm
উত্তর- শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 13 সেমি।
আরো পড়ো → ভারতীয় কৃষি অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর
4. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গ মিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় কর।
সমাধান- ধরি, তাঁবুর ভূমির ব্যাসার্ধ = r মিটার, উচ্চতা = h মিটার
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল \(= \pi r^2\) বর্গমিটার ও আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^2h\) ঘনমিটার
প্রশ্নানুসারে, 11 জন লোকের থাকতে জায়গা লাগবে \(= (4 \times 11)\) বর্গমিটার
∴ \(\pi r^2 = 4 \times 11 = 44\)
11 জন লোকের বাতাসের প্রয়োজন \(= (20 \times 11) = 220\) ঘনমিটার
∴ \(\frac{1}{3}\pi r^2h = 220\)
বা, \(h =\frac{220\times 3}{44}\) [∵ \(\pi r^2 = 44\)]
∴ তাঁবুর উচ্চতা = 15 মিটার
উত্তর- তাঁবুর উচ্চতা 15 মিটার।
5. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরে দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি.। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি. 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে। টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা কত?
সমাধান- মাথার টোপরের ভূমির বাইরে দিকের ব্যাসার্ধ \((r) =\frac{21}{2}\) cm = 10.5 cm
ধরি, উচ্চতা = h cm, তির্যক উচ্চতা = l cm
∴ পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(= \pi rl\) বর্গসেমি \(= (\frac{22}{7}\times \frac{21}{2} \times l)\) বর্গসেমি = 33 l বর্গসেমি
∴ প্রতি বর্গ সেমি 10 পয়সা হিসাবে টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে খরচ \(= (33l \times 10)\) পয়সা \(=\frac{33 l\times 10}{100}\) টাকা
∴ প্রশ্নানুসারে,
\(=\frac{33 l\times 10}{100} = 57.75\)
বা, \(l =\frac{57.75 \times 100}{33\times 10} = 17.5\)
∴ উচ্চতা \((h) =\sqrt{l^2-r^2}\) cm [∵\(h^2 + r^2 = l^2\)]
\(= \sqrt{(17.5)^2-(10.5)^2}\) cm
\(= \sqrt{196}\) cm = 14 cm
∴ টোপরটির উচ্চতা = 14 cm, তির্যক উচ্চতা = 17.5 cm
উত্তর- টোপরটির উচ্চতা 14 সেমি ও তির্যক উচ্চতা 17.5 সেমি।
আরো পড়ো → বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য অধ্যায়ের কিছু গাণিতিক সমাধান
WBPorashona.com-এর পোস্ট আপডেট নিয়মিত পাওয়ার জন্য –
- ফলো করো → WhatsApp চ্যানেল
- সাবস্ক্রাইব করো → YouTube চ্যানেল
- লাইক করো → Facebook পেইজ
- সাবস্ক্রাইব করো → টেলিগ্রাম চ্যানেল
আমাদের কাজ থেকে উপকৃত হলে এই লেখাটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।
