সদৃশতা অধ্যায়ের গাণিতিক সমস্যার সমাধান । Similarity solution

মাধ্যমিক পরীক্ষার্থীদের জন্য বিশেষ সুখবর ↓

WBP-CT-Banner_offer
similarity
শ্রেণি – দশম | বিভাগ – গণিত | অধ্যায় – সদৃশতা (Similarity) | Sodrishota (Chapter 18)

এই পর্বে রইল দশম শ্রেণির সদৃশতা অধ্যায়ের কষে দেখি 18.2, 18.3 ও 18.4 থেকে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার আলোচনা।

[কষে দেখি 18.2]

1) প্রমাণ কর যে, কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে। [থ্যালাসের উপপাদ্যের সাহায্যে প্রমাণ কর]

ধরি, ∆ABC এর AB এর মধ্যবিন্দু E ও E বিন্দু থেকে BC এর সমান্তরাল সরলরেখা EF অঙ্কন করা হল, যা AC কে F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, F, AC এর মধ্যবিন্দু
∴ AF = FC
প্রমাণ- ∆ABC এর EF ∥ BC (প্রদত্ত)
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
\(\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}\)
বা, \(\frac{AE}{AE}=\frac{AF}{FC}\) [∵ E, AB এর মধ্যবিন্দু ∴ AE = EB]
বা, \(1 = \frac{AF}{FC}\)
∴ AF = FC
∴ F, AC এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ EF, AC কে সমদ্বিখন্ডিত করে। [প্রমাণিত]

2) প্রমাণ কর যে, ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুগুলির মধ্যবিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখাংশ সমান্তরাল বাহুগুলির সমান্তরাল।

ধরি, ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম, যার AD ও BC বাহু পরস্পর সমান্তরাল। AB ও DC তির্যক বাহু দুটির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F।
প্রমাণ করতে হবে যে, EF ∥ AD ও EF ∥ BC
অঙ্কন- BA ও CD কে বর্ধিত করা হল। বর্ধিত BA ও বর্ধিত CD পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ- ∆PCB এর AD ∥ BC
থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে, \(\frac{PA}{AB}=\frac{PD}{DC}\)
বা, \(\frac{PA}{2AE}=\frac{PD}{2DF}\) [∵ E, F যথাক্রমে AB ও DC এর মধ্যবিন্দু]
বা, \(\frac{PA}{AE}=\frac{PD}{DF}\)
∴ ∆PEF এর \(\frac{PA}{AE}=\frac{PD}{DF}\)
∴ থ্যালেসের বিপরিীত উপপাদ্য অনুসারে, EF ∥ AD
আবার, ∵ AD ∥ BC ∴ AD ∥ EF ∥ BC
∴ EF ∥ AD ও EF ∥ BC [প্রমাণিত]

আরো পড়ো → পরীক্ষাগার ও রাসায়নিক শিল্পে অজৈব রসায়ন অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

[কষে দেখি 18.3]

3) প্রমাণ কর যে, কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

 

ধরি, ∆ABC এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q। P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, (i) PQ ∥ BC
(ii) \(PQ = \frac{1}{2} BC\)
প্রমাণ- P, Q যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু।
∴ AP = PB, AQ = QC
∴ \(\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}=1\)
∴ থ্যালেসের বিপরিীত উপপাদ্য অনুসারে, ∆ABC থেকে পাই PQ ∥ BC [প্রমাণিত]

আবার, ∆APQ ও ∆ABC এর ∠APQ = ∠ABC [∵ অনুরূপ কোণ],
∠AQP = ∠ACB [∵ অনুরূপ কোণ],
∠PAQ = ∠BAC [একই কোণ]
∴ ∆APQ ও ∆ABC সদৃশকোণী।
∴ ∆APQ ∿ ∆ABC

∴ থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে,
\(\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{PQ}{BC}\)
∴ \(\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{2AP}=\frac{1}{2}\) [∵ P, AB এর মধ্যবিন্দু]
∴ \(PQ = \frac{1}{2} BC\) [প্রমাণিত]

4) কোনো বৃত্তের PQ ও RS দুটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে X বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। P, S ও R, Q যুক্ত করে, প্রমাণ কর যে, ∆PXS ও ∆RSQ সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমাণ কর যে, PX.XQ = RX.XS.

‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ, RS দুটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে পরস্পরকে X বিন্দুতে ছেদ করেছে। P, S ও R, Q যুক্ত করা হল।
অঙ্কন- S, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ- ∆PXS ও ∆RQX এর মধ্যে,
(i) ∠PXS = ∠RXQ [বিপ্রতীপ কোণ]
(ii) ∠SPX = ∠XRQ [উভয়েই SQ জ্যা এর উপর উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ]
(iii) ∠PSX = ∠RQX [অবশিষ্ট কোণ]
∴ ∆PSX ∿ ∆RQX
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে,
\(\frac{PX}{XQ}=\frac{RX}{XS}\)
∴ PX : XQ = RX : XS [প্রমাণিত]

আরো পড়ো → জীববৈচিত্র্য এবং সংরক্ষণ অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

[কষে দেখি 18.4]

5) ΔABC এর ∠A সমকোণ, AD ⊥ BC প্রমাণ কর: \(\frac{\Delta ABC}{\Delta ACD}=\frac{BC^2}{AC^2}\)

ΔABC সমকোণী ত্রিভুজ, সমকৌণিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC এর উপর AD লম্ব।
∴ ΔABC, ΔACD পরস্পর সদৃশ।
আমরা জানি,
দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত অনুরুপ বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গের অনুপাতের সমান।
∴ ΔABC এর ক্ষেত্রফল/ΔACD এর ক্ষেত্রফল=\(\frac{BC^2}{AC^2}\) [∵ BC, AC অনুরুপ বাহু]
∴ \(\frac{\Delta ABC}{\Delta ACD}=\frac{BC^2}{AC^2}\) [প্রমাণিত]

6) AB কে ব্যাস করে অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করে AB এর উপর যেকোনো বিন্দু C থেকে AB এর উপর লম্ব অঙ্কন করা হল যা, অর্ধবৃত্তকে বিন্দুতে D ছেদ করেছে। প্রমাণ কর: CD; AC ও BC এর মধ্যসমানুপাতী।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস ও ADB অর্ধবৃত্ত। DC ⊥ AB
প্রমাণ করতে হবে যে, CD, AC ও BC এর মধ্যসমানুপাতী।
∴ \(CD^2 = AC \times BC\)
অঙ্কন- D, A ও D, B যুক্ত করা হল।
প্রমাণ- ADB অর্ধবৃত্ত, ∠ADB = অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ADB = 90°
সমকৌণিক বিন্দু B থেকে অতিভুজ AB এর উপর DC লম্ব,
∴ ΔACD, ΔBCD, ΔADB পরস্পর সদৃশ।
∴ \(\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{BC}\)
বা, \(AC \times BC = CD^2\)
∴ CD, AC ও BC এর মধ্যসমানুপাতী [প্রমাণিত]

আরো পড়ো → লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু অধ্যায়ের কিছু গাণিতিক সমাধান

WBPorashona.com-এর পোস্ট আপডেট নিয়মিত পাবার জন্য –


আমাদের কাজ থেকে উপকৃত হলে এই লেখাটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।

WBP-YT-Banner