শ্রেণি – দশম | বিভাগ – গণিত | অধ্যায় – অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio & Proportion) | Onupat o somanupat (Chapter 5.3)
এই পর্বে রইল দশম শ্রেণির অনুপাত ও সমানুপাত অধ্যায়ের কষে দেখি 5.3 থেকে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার আলোচনা।
1. \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) হলে প্রমাণ কর, \((a^2+ab+b^2):(a^2-ab+b^2)=(c^2+cd+d^2):(c^2-cd+d^2)\)
সমাধান- \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) (ধরি, \(k\neq0\))
∴ \(a=bk, c=dk\)
বামপক্ষ= \((a^2+ab+b^2):(a^2-ab+b^2)\)
\(=\frac{ a^2+ab+b^2}{ a^2-ab+b^2}\)
\(=\frac{b^2k^2+b^2k+b^2}{ b^2k^2-b^2k+b^2}\) [\(a=bk\), মান বসিয়ে পাই]
\(=\frac{b^2(k^2+k+1)}{b^2(k^2-k+1)}\)
\(=\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}\)
ডানপক্ষ= \((c^2+cd+d^2)(c^2-cd+d^2)\)
\(=\frac{c^2+cd+d^2}{ c^2-cd+d^2}\)
\(=\frac{d^2k^2+d^2k+d^2}{ d^2k^2-d^2k+d^2}\) [\(c=dk\), মান বসিয়ে পাই]
\(=\frac{d^2(k^2+k+1)}{d^2(k^2-k+1)}\)
\(=\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}\)
∴ বামপক্ষ= ডানপক্ষ
∴ \((a^2+ab+b^2):(a^2-ab+b^2)=(c^2+cd+d^2)(c^2-cd+d^2)\) [প্রমাণিত]
2. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ কর যে, \((a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2\)
\(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী
সমাধান– ∴ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\)
∴ \(a=bk,b=ck,c=dk\)
∴ \(b=ck=dk.k=dk^2\)
∴ \(a=bk=dk^2.k=dk^3\)
এখন, বামপক্ষ= \((a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)\)
\(=(d^2k^6+ d^2k^4+d^2k^2)( d^2k^4+d^2k^2+d^2)\)
\(=d^2k^2(k^4+k^2+1)d^2(k^4+k^2+1)\)
\(=d^4k^2(k^4+k^2+1)^2\)
ডানপক্ষ= \((ab+bc+cd)^2\)
\(=(dk^3.dk^2+dk^2.dk+dk.d)^2\)
\(=[d^2k(k^4+k^2+1)]^2\)
\(=d^4k^2(k^4+k^2+1)\)
∴ বামপক্ষ= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
আরো পড়ো → অনুপাত ও সমানুপাত অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর
3. \(\frac {x}{y} = \frac {a+2}{a-2}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac {x^ 2 – y^ 2}{x^ 2 + y^ 2} = \frac {4a}{a^ 2+4}\)
সমাধান- \(\frac {x}{y} = \frac {a+2}{a-2}\)
বা, \(\frac {x^ 2}{y^ 2} = \frac {(a+2)^2}{(a-2)^2}\) [বর্গ করে]
বা, \(\frac {x^ 2-y^ 2}{x^ 2+y^ 2} = \frac {(a+2)^2 – (a-2)^2}{(a+2)^2 +(a-2)^2}\)
বা, \(\frac {x^ 2-y^ 2}{x^ 2+y^ 2} = \frac {4.a.2}{2(a^ 2+2^ 2)}\)
বা, \(\frac {x^ 2-y^ 2}{x^ 2+y^ 2} = \frac {4.a.}{(a^ 2+4)}\)
∴ \(\frac {x^ 2 – y^ 2}{x^ 2 + y^ 2} = \frac {4a}{a^ 2+4}\) [প্রমাণিত]
4. \(\frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}\)হলে, দেখাও যে প্রতিটি অনুপাত \(x\)-এর সমান।
সমাধান- \(\frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}\)
∴ \(\frac{a(ax+by)}{a^2}=\frac{b(bx-ay)}{b^2}=\frac{a(ax+by)+b(bx-ay)}{a^2+b^2}\) [সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]
\(=\frac{a^2x+aby+b^2x-aby}{a^2+b^2}\)
\(=\frac{x(a^2+b^2)}{(a^2+b^2)}=x\)
\(\frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}=x\) [প্রমাণিত]
আরো পড়ো → Fable Question Answer
5. যদি \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ab}\)
সমাধান– ধরি, \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\) (ধরি, \(k\neq0\))
∴ \(x=ak, y=bk, z=ck\)
∴ \(\frac{x^2-yz}{a^2-bc}= \frac{a^2k^2-bk.ck}{a^2-bc}= \frac{k^2(a^2-bc)}{(a^2-bc)}=k^2\)
∴ \(\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{b^2k^2-ck.ak}{b^2-ca}= \frac{k^2(b^2-ca)}{(b^2-ca)}=k^2\)
∴ \(\frac{z^2-xy}{c^2-ab}= \frac{c^2k^2-ak.bk}{c^2-ab}=\frac{k^2(c^2-ab)}{c^2-ab}=k^2\)
∴ \(\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ab}\) [প্রমাণিত]
6. প্রমাণ কর \((a^ 2 + b^ 2 + c^ 2) (x^ 2 + y^ 2 + z^ 2)\)= \((ax+by+cz)^2\) যেখানে \(x : a = y : b = z : c\)
বা, \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\) (ধরি, \(k\neq 0\))
∴ \(x=ak, y=bk, z=ck\)
বামপক্ষ = \((a^ 2 + b^ 2 + c^ 2) (x^ 2 + y^ 2 + z^ 2)\)
\(=(a^ 2 + b^ 2 + c^ 2) [(ak)^ 2 + (bk)^ 2 + (ck)^ 2]\)
\(=(a^ 2 + b^ 2 + c^ 2) (a^ 2k^ 2 + b^2k^ 2 + c^2k^ 2)\)
\(=(a^ 2 + b^ 2 + c^ 2). k^ 2 (a^ 2 + b^ 2 + c^ 2)\)
\(= k^ 2 (a^ 2 + b^ 2 + c^ 2)^2\)
ডানপক্ষ \(=(ax+by+cz)^2\)
\(= (a. ak + b. bk + c. ck)^2\)
\(= (a^ 2k + b^2k + c^2k)^2\)
\(=[k (a^ 2 + b^ 2 + c^ 2)]^2\)
\(= k^ 2 (a^ 2 + b^ 2 + c^ 2)^2\)
∴ বামপক্ষ= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
আরো পড়ো → প্রাণী হরমোন অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর
WBPorashona.com-এর পোস্ট আপডেট নিয়মিত পাবার জন্য –
- সাবস্ক্রাইব করো → YouTube চ্যানেল
- লাইক করো → Facebook পেইজ
- সাবস্ক্রাইব করো → টেলিগ্রাম চ্যানেল
আমাদের কাজ থেকে উপকৃত হলে এই লেখাটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।
