আয়তঘন অধ্যায়ের গাণিতিক সমস্যার সমাধান | Cuboid solution

ayotoghono-question-answer
শ্রেণি – দশম | বিভাগ – গণিত | অধ্যায় – আয়তঘন (Cuboid) | Ayotoghono (Chapter 4)

এই পর্বে রইল দশম শ্রেণির আয়তঘন অধ্যায়ের কষে দেখি 4 থেকে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার আলোচনা।

1) একটি সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মিটার, 4 মিটার ও 3 মিটার হলে, ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান- সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মিটার, 4 মিটার, 3 মিটার
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{5^2+4^2+3^2}\) মিটার \(=\sqrt{50}\) মিটার \(= 5\sqrt{2}\) মিটার
∴ ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা \(5\sqrt{2}\) মিটার দণ্ড রাখা যাবে। (উত্তর)

2) একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গমিটার হলে, ঘনকটির আয়তন কত হবে?
সমাধান- ধরি, ঘনকটির বাহু = a মিটার,
∴ একটি তলের ক্ষেত্রফল \(= a^2\) বর্গমিটার
∴ \(a^2 = 64\)
∴ \(a=\sqrt{64} = 8\)
∴ ঘনকের বাহু = 8 মিটার
∴ আয়তন = \((a)^3\) ঘনমিটার = \((8)^3\) ঘনমিটার = 512 ঘনমিটার। (উত্তর)

আরো পড়ো → বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য অধ্যায়ের গাণিতিক সমস্যার সমাধান

3) যদি একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গসেমি হয়, তবে ঘনকটির আয়তন কত হবে?
সমাধান- ধরি, ঘনকটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি
∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(=6a^2\) বর্গসেমি
ও ঘনকটির আয়তন \(=a^3\) ঘনসেমি
∴ প্রশ্নানুসারে,
\(6a^2 = 216\)
বা, \(a^2 =\frac{216}{6} = 36\)
বা, \(a =\sqrt{36} = 6\) [$a \neq -6$]
∴ ঘনকটির আয়তন \(= a^3 = 6^3\) ঘনসেমি
= (6 × 6 × 6) ঘনসেমি
= 216 ঘনসেমি
∴ ঘনকটির আয়তন = 216 ঘনসেমি (উত্তর)

4) একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 2 : 1 এবং উহার আয়তন 384 ঘনসেমি হলে, বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত হবে?
সমাধান – সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 2 : 1
∴ ধরি, বাক্সটির দৈর্ঘ্য \(= 3x\) সেমি, প্রস্থ \(= 2x\) সেমি ও উচ্চতা \(= x\) সেমি
∴ বাক্সটির আয়তন \(= (3x \times 2x \times x)\) ঘনসেমি
\(= 6x^3\) ঘনসেমি
∴ প্রশ্নানুসারে,
\(6x^3 = 384\)
বা, \(x^3 =\frac{384}{6} = 64\)
বা, \(x^3 = 4 \times 4 \times 4\)
বা, \(x = 4\)
∴ বাক্সটির দৈর্ঘ্য \(= (3 \times 4) = 12\) সেমি, প্রস্থ \(= (2 \times 4) = 8\) সেমি ও উচ্চতা = 4 সেমি
সমকোণী চৌপলের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2 × [(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) + (দৈর্ঘ্য × উচ্চতা) + (প্রস্থ × উচ্চতা)] বর্গএকক
∴ বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2 × [(12 × 8) + (12 × 4) + (8 × 4)] বর্গসেমি
= 2 × [96 + 48 + 32] বর্গসেমি
= 2 × 176 বর্গসেমি
= 352 বর্গসেমি
∴ বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 352 বর্গসেমি। (উত্তর)

আরো পড়ো → উদ্ভিদ হরমোন অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

5) একটি চা–এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি এবং 5.4 ডেসিমি। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা হলে, 1 ঘনডেসিমি চা–এর ওজন কত হবে?
সমাধান-চা বাক্সটির দৈর্ঘ্য = 7.5 ডেসিমি, প্রস্থ = 6 ডেসিমি, উচ্চতা = 5.4 ডেসিমি
∴ আয়তন = (7.5 × 6 × 5.4) ঘনডেসিমি = 243 ঘনডেসিমি
প্রশ্নানুসারে, বাক্সে থাকা চা এর ওজন
= (52 কিগ্রা 350 গ্রাম – 3 কিগ্রা 750 গ্রাম)
= 48 কিগ্রা 600 গ্রাম = 48.6 কিগ্রা
∴ 1 ঘনডেসিমি চা–এর ওজন \(=\frac{48.6}{243}\) কিগ্রা
= 0.2 কিগ্রা = 200 গ্রাম
∴ নির্ণেয় চা–এর ওজন = 200 গ্রাম। (উত্তর)

6) এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 2.8 ডেসিমি, 1.5 ডেসিমি ও 0.9 ডেসিমি হলে, একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন কত হবে? [এক গ্রোস = 12 ডজন]
কিন্তু যদি একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং প্রস্থ 3.5 সেমি হয়, তবে তার উচ্চতা কত হবে?

সমাধানঃ- 1 গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের,
দৈর্ঘ্য = 2.8 ডেসিমি = 28 সেমি,
প্রস্থ = 1.5 ডেসিমি = 15 সেমি,
উচ্চতা = 0.9 ডেসিমি = 9 সেমি,
এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের আয়তন
= (28 × 15 × 9) ঘনসেমি
= 3780 ঘনসেমি
∴ 1 গ্রোস দেশলাই বাক্স = 12 ডজন = 12 × 12 = 144 টি বাক্স
∴ প্রতিটি দেশলাই বাক্সের প্যাকেটের আয়তন \(=\frac{3780}{144}\) ঘনসেমি
= 26.25 ঘনসেমি
∴ একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য = 5 সেমি, প্রস্থ = 3.5 সেমি
ধরি, উচ্চতা \(= x\) সেমি
∴ একটি বাক্সের আয়তন \(= (5 \times 3.5 \times x)\) ঘনসেমি
\(= 17.5 x\) ঘনসেমি
∴ প্রশ্নানুসারে,
\(17.25x = 26.25\)
বা, \(x =\frac{26.25}{17.5} =\frac{2625}{1750}\) = 1.5
∴ একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন = 26.25 ঘনসেমি ও নির্ণেয় উচ্চতা = 1.5 সেমি। (উত্তর)

আরো পড়ো → ভারতের ভূপ্রকৃতি অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

7) বাড়ির তিনটি কেরোসিন তেলের ড্রামে যথাক্রমে 800 লিটার, 725 লিটার এবং 575 লিটার তেল ছিল। ওই তিনটি ড্রামের তেল একটি আয়তঘনাকার পাত্রে ঢালা হলো এবং এতে পাত্রে তেলের গভীরতা 7 ডেসিমি হলো। ওই আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4 : 3 হলে, পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?
যদি ওই আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 5 হতো, তবে 1620 লিটার তেল ওই পাত্রে রাখা যেত কিনা হিসাব করে দেখ।

সমাধান- বাড়িতে থাকা মোট কেরোসিন তেলের আয়তন = (800 + 725 + 575) = 2100 লিটার
= 2100 ঘনডেসিমিটার
ঐ তেল ঢালার পরে আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 7 ডেসিমি।
পাত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4 : 3
ধরি, পাত্রটির দৈর্ঘ্য \(= 4x\) ডেসিমি, প্রস্থ \(= 3x\) ডেসিমি
∴ আয়তঘনাকার পাত্রে তেলের আয়তন
\(= (4x \times 3x \times 7)\) ঘনডেসিমি
\(= 84x^2\) ঘনডেসিমি
∴ প্রশ্নানুসারে,
\(84x^2 = 2100\)
বা, \(x^2 =\frac{2100}{84}= 25\)
∴ \(x =\sqrt{25} = 5\) [x ≠ 5]
∴ পাত্রটির দৈর্ঘ্য = 4 × 5 = 20 ডেসিমি
প্রস্থ = 3 × 5 = 15 ডেসিমি (উত্তর)
যদি ঐ পাত্রটির গভীরতা 5 ডেসিমি হত, তাহলে পাত্রটির আয়তন = (20 × 15 × 5) = 1500 ঘনডেসিমি
= 1500 লিটার
∴ পাত্রটিতে 1620 লিটার তেল রাখা যেত না, কারণ পাত্রটির আয়তন 1500 লিটার। (উত্তর)

8) 5 সেমি পুরু কাঠের তক্তায় তৈরি ঢাকনাসহ একটি কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা। কিন্তু চাল ভর্তি বাক্সটির ওজন 880.5 কিগ্রা। বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ডেসিমি এবং 8.5 ডেসিমি এবং এক ঘন ডেসিমি চালের ওজন 1.5 কিগ্রা। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা কত? প্রতি বর্গডেসিমি 1.50 টাকা হিসাবে বাক্সটির বাইরের চারিপাশে রং করতে কত খরচ পড়বে?
সমাধানঃ- কাঠের বাক্সের ওজন = 115.5 কিগ্রা
চাল ভর্তি বাক্সের ওজন = 880.5 কিগ্রা
∴ বাক্সের চালের ওজন = (880.5 – 115.5) কিগ্রা
= 765 কিগ্রা
1 ঘনডেসিমি চালের ওজন 1.5 কিগ্রা,
∴ 765 কিগ্রা চালে, চালের পরিমাণ \(=\frac{765}{1.5}\) ঘনডেসিমি
= 510 ঘনডেসিমি
বাক্সের ভিতরে চালের আয়তন = 510 ঘনডেসিমি
ধরি, বাক্সের ভিতরের উচ্চতা \(= x\) ডেসিমি
∴ বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য = 12 ডেসিমি, প্রস্থ = 8.5 ডেসিমি
∴ আয়তন \(= (12 \times 8.5 \times x)\) ঘনডেসিমি
∴ প্রশ্নানুসারে,
\(12 \times 8.5 \times x = 510\)
বা, \(x =\frac{510}{12\times 8.5}= 5\) ডেসিমি
∴ বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা = 5 ডেসিমি
কাঠের বাক্সটি 5 সেমি পুরু কাঠের তক্তা দিয়ে তৈরি।
∴ বাক্সটির বাইরের দৈর্ঘ্য = (12 + 2 × 0.5) ডেসিমি [5 সেমি = 0.5 ডেসিমি]
= 13 ডেসিমি
∴ বাক্সটির বাইরের প্রস্থ = (8.5 + 2 × 0.5) ডেসিমি = 9.5 ডেসিমি
∴ বাক্সটির বাইরের উচ্চতা = (5 + 2 × 0.5) ডেসিমি = 6 ডেসিমি
∴ বাক্সটির বাইরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2 × [(13 × 9.5) + (9.5 × 6) + (13 × 6)] বর্গডেসিমি
= 2 × [123.5 + 57 + 78] বর্গডেসিমি
= 2 × 258.5 বর্গডেসিমি
= 517 বর্গডেসিমি
∴ প্রতি বর্গডেসিমি 1.50 টাকা হিসাবে রং করতে বাক্সটির চারিপাশে খরচ হবে = (517 × 1.50) টাকা
= 775.5 টাকা
বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা = 5 ডেসিমি
বাক্সের বাইরের চারিপাশে রং করতে খরচ = 775.50 টাকা। (উত্তর)

আরো পড়ো → আয় আরো বেঁধে বেঁধে থাকি কবিতার প্রশ্ন উত্তর

WBPorashona.com-এর পোস্ট আপডেট নিয়মিত পাবার জন্য –


আমাদের কাজ থেকে উপকৃত হলে এই লেখাটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।

WBP-YT-Banner