শ্রেণি – দশম | বিভাগ – গণিত | অধ্যায় – পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoraser upopadyo) | Pythagoras Theorem (Chapter 22)
এই পর্বে রইল দশম শ্রেণির পিথাগোরাসের উপপাদ্য অধ্যায়ের কষে দেখি 22 থেকে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার আলোচনা।
1. যদি কোন ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য নিম্নরূপ হয়, তবে ত্রিভুজটি কি ধরণের ত্রিভুজ হবে? [বাহুত্রয় যথাক্রমে 8 সেমি, 15 সেমি ও 17 সেমি]
সমাধান- আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সম্পর্কটি বাহুত্রয় পূরণ করলে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
∴ \(8^2+15^2=64+225=289\)
আবার, \(17^2=289\)
সুতরাং, \(17^2=8^2+15^2\)
অর্থাৎ, ত্রিভুজটির একটি বাহুর বর্গ অপর বাহু দুটির বর্গের সমষ্টির সমান।
সুতরাং, এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
আরো পড়ো → অভিব্যক্তি অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর
2. 10 সেমি বাহু বিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান- ABCD রম্বসের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 10 সেমি, একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য AC = 12 সেমি।
আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
△AOD থেকে পাই পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী, [ △AOD সমকোণী ত্রিভুজ]
∴ \(AD^2=AO^2+OD^2\)
বা, \(10^2=6^2+OD^2\)
বা, \(OD^2=100-36\)
বা, \(OD^2=64\)
বা, \(OD=8\)
রম্বসের অপর কর্ণটি BD = BO + OD
= OD + OD = 8+8=16 [BO = OD]
সুতরাং, রম্বসের অপর কর্ণটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি।
3. একটি ত্রিভুজ ABC যার উচ্চতা AD; AB>AC হলে প্রমাণ কর যে, \(AB^2-AC^2=BD^2-CD^2\)
প্রদত্ত- ধরি, △ABC ত্রিভুজের উচ্চতা AD এবং AB > AC
প্রমাণ করতে হবে, \(AB^2-AC^2=BD^2-CD^2\)
প্রমাণ- পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
সমকোণী △ABD থেকে পাই,
\(AB^2=BD^2+AD^2\) ……..(i)
সমকোণী △ACD থেকে পাই,
\(AC^2=AD^2+CD^2\) ……….(ii)
(i) – (ii) বিয়োগ করে পাই,
\(AB^2-AC^2\)
\(=BD^2+AD^2-(AD^2+CD^2)\)
\(=BD^2+AD^2-AD^2-CD^2\)
\(=BD^2-CD^2\) [প্রমাণিত]
আরো পড়ো → পরীক্ষাগার ও রাসায়নিক শিল্পে অজৈব রসায়ন অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর
4. একটি ত্রিভুজ △PQR যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে কোন একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ কর যে, \(PS^2+QR^2=PR^2+QS^2\)।
প্রদত্ত- △PQR একটি ত্রিভুজ যার PQR বা Q সমকোণ।
QR বাহুর উপর S যে কোন একটি বিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে, \(PS^2+QR^2=PR^2+QS^2\)
প্রমাণ- △PQR থেকে পাই
পিথাগোরাসের সুত্রানুসারে,
\(PQ^2+QR^2=PR^2\)
বা, \(QR^2=PR^2-PQ^2\) ……..(i)
আবার, △PQS থেকে পাই,
\(PQ^2+QS^2=PS^2\) …………(ii)
সুতরাং, \(PS^2+QR^2=PQ^2+QS^2+PR^2-PQ^2\)
বা, \(PS^2+QR^2=QS^2+PR^2\) [প্রমাণিত]
WBPorashona.com-এর পোস্ট আপডেট নিয়মিত পাওয়ার জন্য –
- ফলো করো → WhatsApp চ্যানেল
- সাবস্ক্রাইব করো → YouTube চ্যানেল
- লাইক করো → Facebook পেইজ
- সাবস্ক্রাইব করো → টেলিগ্রাম চ্যানেল
আমাদের কাজ থেকে উপকৃত হলে এই লেখাটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।
