শ্রেণি – দশম | বিভাগ – গণিত | অধ্যায় – ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trikonmitik onupat trikonmitik obhedaboli) | Trigonometric ratios and Trigonometric identies (Chapter 23)
এই পর্বে রইল দশম শ্রেণির ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি অধ্যায়ের কষে দেখি 23 থেকে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার আলোচনা।
1. যদি sinC=\(\frac{2}{3}\) হয়, তবে \(cosC\times cosecC\) এর মান কত?
সমাধান-
\(sinC=\frac{2}{3}\)
আমরা জানি, sinC=লম্ব/অতিভুজ=\(\frac{2}{3}\)
ধরি, লম্ব = 2x এবং অতিভুজ = 3x একক
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ2= লম্ব2+ভূমি2
বা, \((3x)^2= (2x)^2\)+ভূমি2
বা, ভূমি2= \((3x)^2-(2x)^2\)
বা, ভূমি2= \(9x^2-4x^2\)
বা, ভূমি2= \(9x^2-4x^2\)
বা, ভূমি2= \(5x^2\)
বা, ভূমি= \(\sqrt{5x^2}\)
বা, ভূমি= \(\sqrt{5}x\)
\(cosC \times cosecC\)
ভূমি\অতিভুজ × অতিভুজ\লম্ব
\(=\frac{\sqrt{5}x}{3x} \times \frac{3x}{2x}\)
\(=\frac{\sqrt5}{2}\)
নির্ণেয় \(cosC\times cosecC\) এর মান \(=\frac{\sqrt5}{2}\)
2. \(xsin45^{\circ}cos45^{\circ}tan60^{\circ}=tan^{2}45^{\circ}-cos60^{\circ}\) হলে, \(x\) এর মান করো।
সমাধানঃ-
\(xsin45^{\circ}cos45^{\circ}tan60^{\circ}=tan^{2}45^{\circ}-cos60^{\circ}\)
বা, \(x\times \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{2}}\times \sqrt{3}=1^2-\frac{1}{2}\)
বা,\(x\times \frac{\sqrt3}{2}=1-\frac{1}{2}\)
বা,\(x\times \frac{\sqrt3}{2}=\frac{1}{2}\)
বা,\(x=\frac{1}{2}\times \frac{2}{\sqrt3}\)
বা,\(x=\frac{1}{\sqrt3}\)
নির্ণেয় \(x\) এর মান \(\frac{1}{\sqrt3}\)
3. \(xtan30^{\circ}+ycot60^{\circ}=0\) এবং \(2x-ytan45^{\circ}=1\) হলে, \(x\) ও \(y\) এর মান হিসাব করে লেখ।
\(xtan30^{\circ}+ycot60^{\circ}=0\)
বা,\(x\times\frac{1}{\sqrt3}+y\times\frac{1}{\sqrt3}=0\)
বা,\(\frac{x}{\sqrt3}+\frac{y}{\sqrt3}=0\)
বা,\(\frac{1}{\sqrt3}(x+y)=0\)
বা,\(x+y=0\) …………(i)
\(2x-ytan45^{\circ}=1\)
বা,\(2x-y\times 1=1\)
বা,\(2x-y=1\) …….(ii)
(i) + (ii) যোগ করে পাই
\((x+y)+(2x-y)=0+1\)
বা,\(x+y+2x-y=1\)
বা,\(3x=1\)
বা,\(x=\frac{1}{3}\)
(i) নং সমীকরণে \(x\) এর মান বসিয়ে পাই
\(\frac{1}{3}+y=0\)
বা,\(y=-\frac{1}{3}\)
নির্ণেয় সমাধান \(x=\frac{1}{3}, y =-\frac{1}{3}\)
4. \(x=2sin\theta , y=3cos\theta\)
সমাধান-
\(x=2sin\theta\)
বা, \(\frac{x}{2}=sin\theta\)
\(y=3cos\theta\)
বা, \(\frac{y}{3}=cos\theta\)
আমরা জানি, \(sin^2\theta +cos^2\theta =1\)
বা, \((\frac{x}{2})^2+(\frac{y}{3})^2=1\)
বা, \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\theta\) অপনয়ন করে পাই \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)
5. যদি \(sin\alpha =\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\) হয়, তাহলে দেখাও যে \(cot\alpha =\frac{2ab}{a^2-b^2}\)
সমাধান-
\(sin\alpha =\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\)
সুতরাং, \(cosec\alpha =\frac{1}{sin\alpha }=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\)
আমরা জানি, \(cosec^2\alpha-cot^2\alpha=1\)
বা, \(cot^2\alpha =cosec^2\alpha -1\)
বা, \(cot^2\alpha = (\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2})^2-1\)
বা, \(cot^2\alpha = \frac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{(a^2-b^2)^2}\)
বা, \(cot^2\alpha = \frac{4a^2b^2}{(a^2-b^2)^2}\) [ \(4a^2b^2=(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2\)]
বা, \(cot\alpha = \sqrt{\frac{4a^2b^2}{(a^2-b^2)^2}}\)
বা, \(cot\alpha = \frac{2ab}{(a^2-b^2)}\) [প্রমাণিত]
আরো পড়ো → গোলক অধ্যায়ের কিছু গাণিতিক সমাধান
WBPorashona.com-এর পোস্ট আপডেট নিয়মিত পাবার জন্য –
- সাবস্ক্রাইব করো → YouTube চ্যানেল
- লাইক করো → Facebook পেইজ
- সাবস্ক্রাইব করো → টেলিগ্রাম চ্যানেল
আমাদের কাজ থেকে উপকৃত হলে এই লেখাটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।
