শ্রেণি – দশম | বিভাগ – গণিত | অধ্যায় – বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Britto somporkito upopadyo) | Theorems related to circle (Chapter 3)
এই পর্বে রইল দশম শ্রেণির বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য অধ্যায়ের কষে দেখি 3 থেকে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার আলোচনা।
1. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবং O বিন্দু থেকে PQ এর দূরত্ব 2.1 সেমি। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লেখ।
সমাধান- O বিন্দু থেকে PQ জ্যা- এর দূরত্ব 2.1 সেমি।
বৃত্তের জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি।
S হল PQ জ্যা-এর মধ্যবিন্দু
সুতরাং, \(PS=\frac{1}{2}\times{PQ}=\frac{1}{2}\times 4=2\) সেমি।
△POS থেকে পাই,
\(OP^2=OS^2+PS^2\)
বা, \(OP^2=(2.1)^2+(2)^2\)
বা, \(OP^2=4.41+4\)
বা, \(OP^2=8.41\)
বা, \(OP=2.9\)
সুতরাং, ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.9 সেমি।
2. নীচের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবিতে OP⊥ AB ; AB=6 সেমি এবং PC= 2 সেমি হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লেখ।
সমাধান- AB জ্যা এবং OP ⊥ AB
AB = 6 সেমি।
AP = PB [ P মধ্যবিন্দু AB এর ]
সুতরাং, \(AP=\frac{1}{2}\times AB = \frac{1}{2}\times 6 = 3\) সেমি
CP = 2 সেমি
ধরি, OP = x সেমি
OC = OP + CP = (x+2) সেমি
OA = OC = (x+2) সেমি [ ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ]
△OAP এর থেকে পাই,
\(AP^2+OP^2=OA^2\)
বা, \(3^2+x^2=(x+2)^2\)
বা, \(9+x^2=x^2+2.2x+2^2\)
বা, \(9+x^2=x^2+4x+4\)
বা, \(x^2-x^2-4x=4-9\)
বা, \(-4x=-5\)
বা, \(x=\frac{5}{4}\)
বা, \(x=1.25\)
OA=x+2=1.25+2=3.25 সেমি
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.25 সেমি।
আরো পড়ো → সরল সুদ অধ্যায়ের গাণিতিক সমস্যার সমাধান
3. প্রমাণ কর, কোন বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদী জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়।
সমাধান-
প্রদত্ত বিষয়ঃ- ব্যাস নয় এরুপ দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে, AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারেনা।
অঙ্কন- OP যুক্ত করা হল
প্রমাণ- ধরি, AB ও CD জ্যা দুটি P বিন্দুতে পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ, PD = PC , AP = PB
CD জ্যা P বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে।
সুতরাং, DP = PC
অর্থাৎ, OP⊥ CD
যেহেতু, AP = PB
অতএব OP⊥AB
OP⊥CD , OP⊥AB , এটা সম্ভব যখন AB ও CD একই সরলরেখায় অবস্থিত হবে। অর্থাৎ AB ও CD হল দুটি অভিন্ন জ্যা।
সুতরাং, জ্যা দুটি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না।
আরো পড়ো → উদ্ভিদ চলন অধ্যায়ের প্রশ্ন – উত্তর আলোচনা
4. X ও Y কেন্দ্র বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। XY এর মধ্যবিন্দু S এর সঙ্গে A বিন্দু যুক্ত করলাম এবং A বিন্দু দিয়ে SA এর উপর লম্ব অঙ্কন করা হল যা বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ কর যে, PA=AQ।
সমাধান-
প্রদত্ত- X ও Y কেন্দ্র বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। XY এর মধ্যবিন্দু S। S, A বিন্দুকে যোগ করা হল। $SA$ এর উপর একটি লম্ব PQ আঁকা হল। SA ⊥ PQ।
প্রমাণ করতে হবে, PA = AQ
অঙ্কন- X ও Y বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখার উপর XR এবং YT লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ- X কেন্দ্রীয় বৃত্তের PA জ্যা XR⊥AP
PR = RA
সুতরাং, PA = 2RA
Y কেন্দ্রীয় বৃত্তের AQ জ্যা YT⊥AQ
AT=TQ
সুতরাং, AQ = 2AT
আবার, XR∥ SA∥ YT [ XR, SA, YT প্রত্যেকে PQ এর উপর লম্ব]
XY এর মধ্যবিন্দু S [ প্রদত্ত]
এবং RT এর মধ্যবিন্দু A
অতএব, RA = AT
বা, \(\frac{1}{2}PA = \frac{1}{2}AQ\)
বা, PA = AQ [প্রমাণিত]
5. একটি বৃত্তের দুটি পরস্পর ছেদী জ্যা-এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক যদি কেন্দ্রগামী হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, জ্যা দুটি সমান।
সমাধান-
প্রদত্তঃ- ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাদের অন্তর্ভূত কোণ ∠APD এর সমদ্বিখণ্ডক OP কেন্দ্রবিন্দুগামী।
প্রমাণ করতে হবে, AB =CD অর্থাৎ জ্যা দুটি সমান
অঙ্কন- O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর উপর OM ও CD জ্যা-এর উপর ON লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমানঃ- ∆OMP ও ∆ONP এর
∠OPM = ∠OPN [প্রদত্ত]
OP সাধারণ বাহু
∠OMP = ∠ONP [সমকোণ]
∆OMP≅∆ONP [A-S-A শর্তানুসারে]
∴ OM = ON [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরুপ বাহু]
আবার, OM ও ON হল কেন্দ্র থেকে AB ও CD জ্যা-এর দূরত্ব।
আমরা জানি, কোন বৃত্তের দুটি সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমান দূরে অবস্থিত হয়।
∴ AB =CD [প্রমাণিত]
6. 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে AB এবং AC দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। বৃত্তের কেন্দ্র ABC ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত। AB =AC = 6 সেমি হলে, BC জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান-
AB=AC=6 সেমি এবং
AO=OB=5 সেমি [ব্যাসার্ধ]
ধরি, OD=x সেমি
AD=(5-x) সেমি
∆OBD থেকে পাই,
\(OB^2=BD^2+DO^2\)
বা, \(BD^2=25-x^2\) ……………..(i)
আবার, ∆ADB থেকে পাই
\(AB^2=AD^2+BD^2\)
বা, \(BD^2=36-(5-x)^2\)
বা, \(BD^2=36-25+10x-x^2\)
বা, \(BD^2=11+10x-x^2\) …………..(ii)
(i) এবং (ii) থেকে পাই
\(25-x^2=11+10x-x^2\)
বা, 14=10x
বা, \(x=\frac{14}{10}\)
বা, x=1.4
x এর মান (i) সমীকরণে বসিয়ে পাই
\(BD^2= 25-(1.4)^2\)
=25-1.96
=23.04
বা, \(BD=\sqrt{23.04}=4.8\)
\(BC=2\times 4.8=9.6\) সেমি
\(BC\) জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 9.6 সেমি।
আরো পড়ো → বায়ুর কাজের ফলে সৃষ্ট ভূমিরূপ প্রশ্ন উত্তর আলোচনা
WBPorashona.com-এর পোস্ট আপডেট নিয়মিত পাবার জন্য –
- সাবস্ক্রাইব করো → YouTube চ্যানেল
- লাইক করো → Facebook পেইজ
- সাবস্ক্রাইব করো → টেলিগ্রাম চ্যানেল
আমাদের কাজ থেকে উপকৃত হলে এই লেখাটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।
