বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য অধ্যায়ের গাণিতিক সমস্যার সমাধান | Theorems related to Cyclic Quadrilateral

brittostho-coturbhuj-songkranto-upopadyo
শ্রেণি – দশম | বিভাগ – গণিত | অধ্যায় – বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) | Brittostho coturbhuj songkranto upopadyo (Chapter 10)

এই পর্বে রইল দশম শ্রেণির বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য অধ্যায়ের কষে দেখি 10 থেকে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার আলোচনা।

1. মহিত একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু \(X\) বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা অঙ্কন করেছে যারা বৃত্তটিকে যথাক্রমে A, B বিন্দু ও C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ কর যে, △XAC ও △XBD এর দুটি করে কোণ সমান।

প্রমাণ-
প্রদত্ত- ACDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। X হল বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে, △XAC ও △XBD এর দুটি করে কোণ সমান।
প্রমাণ- ACDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার,
বহিঃস্থকোণ ∠BDX = বিপরীত অন্তঃস্থকোণ ∠CAB (∠CAX)
আবার, বহিঃস্থকোণ ∠DBX = বিপরীত অন্তঃস্থকোণ ∠ACD (∠ACX)
△XAC ও △XBD এর,
∠CAX =∠BDX
∠ACX = ∠DBX
সুতরাং, এটি প্রমাণিত যে, △XAC ও △XBD এর দুটি করে কোণ সমান।

আরো পড়ো → দ্বিঘাত করণী অধ্যায়ের গাণিতিক সমস্যার সমাধান

2. ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

প্রমাণ-
প্রদত্ত- ABCD একটি সামান্তরিক, A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও AC কে
যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কন- E, F বিন্দুদ্বয় যুক্ত করা হল।
প্রমাণ- O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABFE একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ,
যার বহিঃস্থ কোণ ∠EFC ও অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ ∠BAE.
∠EFC = ∠BAE
ABCD সামান্তরিকের,
∠BAD + ∠ADC =\(180^{\circ}\)
বা, ∠BAE+∠EDC=\(180^{\circ}\) [∠BAD=∠BAE, ∠EDC=∠ADC]
বা, ∠EFC+∠EDC=\(180^{\circ}\) [∠EFC=∠BAE]
আমরা জানি, কোন চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের সমষ্টি \(180^{\circ}\) হলে, চতুর্ভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলি সমবৃত্তস্থ।
সুতরাং, এখানে EFCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। [প্রমাণিত]

আরো পড়ো → ভারতের জলবায়ু অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

3. △ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O; প্রমাণ কর যে O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র।

প্রমাণ-
প্রদত্ত- △ABC এর লম্ববিন্দু O
প্রমাণ করতে হবে যে, O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।
অঙ্কন- D, E; E, F; F, D বিন্দুগুলি যুক্ত করা হল।
প্রমাণ- O বিন্দু △ABC এর লম্ববিন্দু।
আমরা জানি, সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে
বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব পাদত্রিভুজের কোণগুলিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
AD রেখা ∠FDE কে, BE রেখা ∠DEF কে ,
CF রেখা ∠EFD কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
△DEF এর কোণ তিনটির অন্তঃসমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
সুতরাং, O বিন্দু পাদত্রিভুজ △DEF এর অন্তঃকেন্দ্র। [প্রমাণিত]

আরো পড়ো → Our Runaway Kite Question Answer

4. প্রমাণ কর যে একটি সুষম পঞ্চভুজের যে কোন চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।

প্রমাণ-
প্রদত্ত- ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ।
প্রমাণ করতে হবে যে, B, C, D, E সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কন- B, D ও C, E বিন্দু গুলি যুক্ত করা হল।
প্রমাণ- △BCD ও △CDE এর,
BC = DE [ ABCDE সুষম পঞ্চভুজের সবকটি বাহু সমান ]
CD = সাধারন বাহু
∠BCD = ∠CDE [ABCDE সুষম পঞ্চভুজের কোণগুলির মান সমান ]
△BCD ≅ △CDE [ S-A-S শর্তে ত্রিভুজগুলি সর্বসম ]
∠CBD = ∠CED [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরুপ কোণ ]
আমরা জানি, দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশে একই পাশে দুটি বিন্দুতে সমান কোণ উৎপন্ন হলে, বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ হবে।
সুতরাং, B, C, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। [ প্রমাণিত]

আরো পড়ো → কোশবিভাজন ও কোশচক্র অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

WBPorashona.com-এর পোস্ট আপডেট নিয়মিত পাবার জন্য –


আমাদের কাজ থেকে উপকৃত হলে এই লেখাটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।

WBP-YT-Banner