বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য অধ্যায়ের গাণিতিক সমস্যার সমাধান | Theorems Related to Angles in a Circle Solution

brittostho-kon-somporkito-upopadyo
শ্রেণি – দশম | বিভাগ – গণিত | অধ্যায় – বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to angles in a circle) | Brittostho kon somporkito upopadyo (Chapter 7)

এই পর্বে রইল দশম শ্রেণির বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য অধ্যায়ের কষে দেখি 7.1, 7.2 ও 7.3 থেকে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার আলোচনা।

কষে দেখি 7.1

1. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DC বাহুকে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। ∠BCP =\(108^{\circ}\) হলে, ∠BOD এর মান কত?

সমাধান
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DC বাহুকে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।
এবং B , O ; D, O বিন্দুগুলিকে যুক্ত করা হল।
∠BCP = \(108^{\circ}\)
এখানে, ∠BCD = \(180^{\circ} – ∠BCP = 180^{\circ} – 108^{\circ} = 72^{\circ}\)
BD চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD.
∠BOD = 2 ∠BCD = 2 × \(72^{\circ} = 144^{\circ}\)
∠BOD এর মান \(144^{\circ}\).

আরো পড়ো → অনুপাত সমানুপাত অধ্যায়ের গাণিতিক সমস্যার সমাধান

2. পাশের চিত্রে △ABC এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠AOC=\(110^{\circ}\); ∠ABC এর মান কত?

সমাধান
এখানে ∠AOC = \(110^{\circ}\)
সুতরাং, প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC =\(360^{\circ}-110^{\circ}\)
\(=250^{\circ}\)
AC অধিচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC.
আমরা জানি, বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
সুতরাং, ∠ABC = \(\frac{1}{2}\) × প্রবৃদ্ধ ∠AOC = \(\frac{1}{2}\times 250^{\circ}= 125^{\circ}\)
∠ABC এর মান \(125^{\circ}\)

আরো পড়ো → সঙ্ঘবদ্ধতার গোড়ার কথা- বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

কষে দেখি 7.2

3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যাকে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, CP = PQ

প্রদত্তঃ- O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা কে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে, CP = PQ
অঙ্কন- C, Q যোগ করা হল।
প্রমাণ- O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CA চাপের উপর
কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COA এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠CQA
∠COA = 2∠CQA ……(i)
X কেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃত্তাংশস্থ কোণ ∠COA ও ∠CPA
∠COP = ∠CPA …….(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই
2∠CQA = ∠CPA ……(ii)
∆PQC এর বহিঃস্থ কোণ ∠CPA ও অন্তঃস্থ কোণ ∠CQP ও ∠QCP
∠CPA = ∠CQP + ∠QCP [ বহিঃস্থ কোণ, বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
বা, 2∠CQA=∠CQP + ∠QCP
বা, 2∠CQP = ∠CQP + ∠QCP [ ∠CQA = ∠CQP]
বা, 2∠CQP – ∠CQP = ∠QCP
বা, ∠CQP = ∠QCP
∆PQC ত্রিভুজের ∠CQP = ∠QCP
∆PQC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
CP = PQ [প্রমাণিত]

উপপাদ্য 34,35 এবং 36↓

4. তিমির দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা টানলাম যারা একটি বৃত্তকে A, B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে C, D বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ কর যে, ∠AQC = ∠BQD

প্রদত্তঃ- X ও Y কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা X কেন্দ্রীয় বৃত্তকে A, B বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবং y কেন্দ্রীয় বৃত্তকে C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে, ∠AQC = ∠BQD
অঙ্কন- P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ- X কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ চাপের বৃত্তাংশস্থ ∠PAQ ও ∠PBQ
∠PAQ = ∠PBQ
বা, ∠CAQ = ∠DBQ ….(i)
Y কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ চাপের উপর বৃত্তাংশস্থ কোণ ∠PCQ ও ∠PDQ
∠PCQ = ∠PDQ
বা, ∠ACQ = ∠BDQ …..(ii)
∆AQC ও ∆BQD এর,
∠CAQ = ∠DBQ [(i) থেকে পাই]
∠ACQ = ∠BDQ [(ii) থেকে পাই]
সুতরাং, অবশিষ্ট কোণ ∠AQC = ∠BQD [ ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে অবশিষ্ট কোণ ও সমান হবে] [প্রমাণিত]

আরো পড়ো → বহুরুপী অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

কষে দেখি 7.3

5. প্রমাণ কর, একটি রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।

প্রদত্ত- ABCD একটি রম্বস।
অঙ্কন- A, C ও B, D বিন্দু যুক্ত করা হল।
প্রমাণ- ABCD রম্বসের কর্ণ AC ও BD পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA =\(90^{\circ}\)
∠AOB =\(90^{\circ}\)
AB কে ব্যাস করে যে বৃত্ত অঙ্কন করা হবে
সেটি O বিন্দুগামী হবে।
অনুরূপে, ∠BOC =\(90^{\circ}\),∠COD=\(90^{\circ}\),
∠DOA=\(90^{\circ}\)
BC, CD, DA কে ব্যাস করে যে বৃত্ত অঙ্কন করা হবে তারাও O বিন্দুগামী হবে।
সুতরাং, রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। [প্রমাণিত]

আরো পড়ো → পর্যায় সারণী অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

6. একটি বৃত্তের উপর তিনটি বিন্দু P, Q ও R অবস্থিত। PQ ও PR এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে, RQ = ST

প্রদত্তঃ- P, Q, R, S, T বিন্দুগুলি বৃত্তের উপর অবস্থিত।
PQPS এবং PQ ⊥ PT; PR ⊥ PT
প্রমাণ করতে হবে RQ = ST
অঙ্কনঃ- S, Q ও T, R বিন্দুগুলি যুক্ত করা হল।
প্রমাণ- PQ⊥PS , সুতরাং, ∠QPS =\(90^{\circ}\)
PR⊥PT, সুতরাং ∠TPR =\(90^{\circ}\)
TR ও QS বৃত্তের ব্যাস
TO = OR = QO =OS [ব্যাসার্ধ]
△TOS ও △QOR এর,
OQ = OS [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OR = OT [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∠TOS = ∠QOR [বিপ্রতীপ কোণ]
অতএব, △TOS ≅ △QOR [ S-S-A শর্তানুসারে]
সুতরাং,RQ = ST [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
[প্রমাণিত]

আরো পড়ো → ভারতের ভূপ্রকৃতি অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

WBPorashona.com-এর পোস্ট আপডেট নিয়মিত পাবার জন্য –


আমাদের কাজ থেকে উপকৃত হলে এই লেখাটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।

WBP-YT-Banner