শ্রেণি – দশম | বিভাগ – গণিত | অধ্যায় – চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound interest or uniform rate of increase or decrease) | Cokrobriddhi sud o somohar briddhi (Chapter 6)
এই পর্বে রইল দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস অধ্যায়ে থেকে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার সমাধান।
Table of Contents
চক্রবৃদ্ধি সুদ (6.1)
1) ছন্দাদেবী বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কিছু টাকা 2 বছরের জন্য ধার করেন। চক্রবৃদ্ধি সুদ 2496 টাকা হলে ছন্দাদেবী কত টাকা ধার করেছিলেন নির্ণয় কর।
ছন্দাদেবী কিছু টাকা ধার নিয়েছেন বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 2 বছরের জন্য।
চক্রবৃদ্ধি সুদ 2496 টাকা।
ধরি, তিনি \(x\) টাকা ধার নিয়েছিলেন।
∴ আসল \(( P) = x\) টাকা
বার্ষিক সুদের হার ( r) = 8%
সময় (n) = 2 বছর
∴ 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি (A)
\(= P(1+\frac{r}{100})^n\) টাকা
\(= x(1+\frac{8}{100})^2\) টাকা[P, r, n এর মান বসিয়ে পাই]
\(= x(\frac{100+8}{100})^2\) টাকা
\(= x \times (\frac{108}{100})^2\) টাকা
\(= x \frac{108}{100}\times\frac{108}{100}\) টাকা
\(=\frac{27\times 27\times x}{25\times25}\) টাকা
\(=\frac{729x}{625}\) টাকা
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) = সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) – আসল ( P)
বা, \(2496 = \frac{729x}{625} – x\)
বা, \(\frac{729}{625}x – x = 2496\)
বা, \(\frac{729x-625x}{625} = 2496\)
বা, \(\frac{104x}{625} = 2496\)
বা, \(x =\frac{2496\times625}{104}\)
বা, x = 24 × 625 = 15000
উত্তর- ছন্দাদেবী 15000 টাকা ধার নিয়েছিলেন।
আরো পড়ো → অনুপাত সমানুপাত অধ্যায়ের গাণিতিক সমস্যার সমাধান
2) বার্ষিক 7.5% সুদের হারে 12000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর কত হবে?
আমরা জানি, p টাকার \(r\%\) হার n বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদে আসলে হবে,
\(A=p(1+\frac{r}{100})^{n}…..(i)\)
যেখানে A = সুদ আসল, P = আসল, r = সুদের হার \((\%)\), n = সময়
r = \(7.5\%\), p = 1200 টাকা, n = 2 বছর
প্রদত্ত মানগুলিকে \((i)\) নম্বর সমীকরণ এ বসিয়া পাই,
\(A = 12000(1+\frac{7.5}{100})^{2}\)
বা, \(A = 12000(1+\frac{75}{1000})^{2}\)
বা, \(A = 12000(\frac{1000+75}{1000})^{2}\)
বা, \(A = 12000(\frac{1075}{1000})^{2}\)
বা, \(A = 12000\times (1.075)^2\)
বা, \(A = 13867.5\) টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ= 13867.5 – 12000 = 1867.50 টাকা
t সময়ে r% হারে আসল p এর সরল সুদের পরিমাণ হবে= \(\frac{p\times t\times r}{100}\) টাকা
P = 12000 টাকা T = 2 বছর, r = \(7.5\%\)
সরল সুদের পরিমাণ = \(\frac{p\times t\times r}{100}\) = \(\frac{12000\times 2\times 7.5}{100}\)
= 1800 টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর= (1867.50 – 1800) টাকা
উত্তর-চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 67.50 টাকা।
আরো পড়ো → স্নায়ুতন্ত্র অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর
3) বার্ষিক 9% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কিছু টাকা 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 129.60 টাকা হলে, ওই টাকার পরিমাণ কত?
বার্ষিক সুদের হার ( r) = 9%
সময় (n) = 2 বছর
ধরি, আসল ( P) \(= x\) টাকা
∴ x টাকার 2 বছরের 9% বার্ষিক সুদের হারে সরল সুদ \((I) =\frac{P\times t \times r}{100}\) টাকা
\(=\frac{x\times2\times9}{100}\) টাকা
\(=\frac{18x}{100}\) টাকা
আবার, \(x\) টাকার 2 বছরের 9% বার্ষিক সুদের হারে সমূল চক্রবৃদ্ধি বা Amount
\(A = P(1+\frac{r}{100})^n\) টাকা
\(= x(1+\frac{9}{100})^2\) টাকা
\(= x(\frac{100+9}{100})^2\) টাকা
\(= x \times (\frac{109}{100})^2\) টাকা
\(= x \times \frac{109}{100}\times \frac{109}{100}\)
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) = সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) – আসল ( P)
\(=\frac{(109\times109)x}{10000} – x\)
\(=\frac{(109\times109)x-10000x}{10000}\)
\(=\frac{11881x-10000x}{10000}\)
\(=\frac{1881x}{10000}\)
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 129.60 টাকা।
∴ প্রশ্নানুসারে,
\(\frac{1881x}{10000}-\frac{18x}{100} = 129.60\)
বা, \(\frac{11881x-1800x}{10000} = 129.60\)
বা, \(\frac{81x}{10000} = 129.60\)
বা, 81x = 129.60 × 10000
বা, \(x =\frac{129.60\times10000}{81}\)
\(=\frac{12960\times10000}{100\times81}\)
= 160 × 100 = 16000
উত্তর- নির্ণেয় আসলের পরিমাণ 16000 টাকা।
আরো পড়ো → My own true family – Question Answer
4) কোনো মূলধনের 2 বছরের সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে 8400 টাকা এবং 8652 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক সুদের হার কত?
ধরি মূলধন/ আসল = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার = r%
∴ x টাকার r% বার্ষিক সুদের হারে 2 বছরের সরল সুদ 8400 টাকা।
আমরা জানি সরল সুদ নির্ণয়ের সূত্র
\(I = \frac{Ptr}{100}\) [I=সুদ P=আসল t=সময় r= বার্ষিক সুদের হার]
মান বসিয়ে পাই,
বা, \(8400 =\frac{x\times 2\times r}{100}\)
বা, 2×r×x = 8400 × 100 —(1)
আবার, x টাকার r% বার্ষিক সুদের হারে 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 8652 টাকা।
আমরা জানি, চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয়ের জন্য প্রথমে আমরা সমূল চক্রবৃদ্ধি বা সুদ আসল নির্ণয় করব।
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) \(= P (1+\frac{r}{100})^n\) টাকা [P=আসল n=সময় r= বার্ষিক সুদের হার]
মান বসিয়ে পাই,
= \(x (1+\frac{r}{100})^2\)
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) = সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) – আসল ( P)
\(= x (1+\frac{r}{100})^2 – x\)
\(= x[(1+\frac{r}{100})^2-1]\)
\(= x[1+\frac{2r}{100}+\frac{r^2}{10000}-1]\) [\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) সূত্রের প্রয়োগ করে]
\(= x (\frac{2r}{100}+\frac{r^2}{10000})\)
প্রশ্নানুসারে,
∴ \(x(\frac{2r}{100}+\frac{r^2}{10000})= 8652\) —(2)
(1) নং সমীকরণ থেকে পাই,
2 × r × x = 8400 × 100
বা, \(x =\frac{8400\times100}{2r}\) —(3)
(3) নং এর x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(\frac{8400\times100}{2r} [\frac{2r}{100}+\frac{r^2}{10000}]=8652\)
বা, \(\frac{840000}{2r}\times\frac{2r}{100} + \frac{840000}{2r}\times \frac{r^2}{10000} = 8652\)
বা, \(\frac{8400\times 2r}{2r} + \frac{84\times r\times r}{2r}= 8652\)
বা, \(8400 +\frac{84r^2}{2r} = 8652\)
বা, \(\frac{84r^2}{2r} = 8652 – 8400 = 252\)
বা, \(r =\frac{2\times 252}{84} = 3 \times 2 = 6\%\)
r = 6 (3) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x = \(\frac{8400\times100}{2\times3\times2}\)
বা, \(x =\frac{840000}{6\times2} =\frac{140000}{2} = 70000\)
উত্তর- নির্ণেয় মূলধন 70000 টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার 6%।
আরো পড়ো → বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য অধ্যায়ের গাণিতিক সমস্যার সমাধান
5) 6 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 6000 টাকার 1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?
আমরা জানি, p টাকার \(r\%\) হারে n বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ আসল হবে
\(A=p(1+\frac{r}{100})^{n}\) টাকা
যেখানে A = সুদ আসল, P = আসল, r = সুদের হার \((\%)\), n = সময়
এখন, \(n = 1\) কিন্তু সুদ্ 6মাস অন্তর দেয় হওয়ায় এক বছরে দুবার সুদ নির্ণয় প্রয়োজন।
সুদের হার = \(4\% = \frac{8}{2}= 4\%\)
∴ নির্ণেয় সুদাসল
= \(6000(1+\frac{4}{100})^{2}\)
= \(6000\times \frac{104}{100}\times\frac{104}{100}\) টাকা
= \(6489.6\) টাকা
সুদ = \((6489.6- 6000)\) টাকা
উত্তর = \(489.6\) টাকা।
আরো পড়ো → বায়ুর কাজের দ্বারা সৃষ্ট ভূমিরুপ অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর
6) বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরে 50000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 60500 টাকা হবে, তা নির্ণয় কর।
ধরি, বার্ষিক সুদের হার ( r) = 10%
আসল ( P) = 50000 টাকা
সময় = n বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = 60500 টাকা
আমরা জানি, কোন নির্দিষ্ট আসল P টাকার ওপর বার্ষিক r% সুদের n বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি Amount (A) এর সূত্র
\(A = P (1+\frac{r}{100})^n\) টাকা
∴ মান বসিয়ে পাই,
\(60500 = 50000 (1+\frac{10}{100})^n\) [P=50000 টাকা, r=10%, n=?, A=60500 টাকা]
বা, \(\frac{60500}{50000} = (1+\frac{10}{100})^n\)
বা, \(\frac{605}{500} = (1+\frac{1}{10})^n\)
বা, \(\frac{121}{100} = (\frac{10+1}{10})^n\)
বা, \(\frac{121}{100} = (\frac{11}{10})^n\)
বা, \(\frac{11\times 11}{10\times 10} = (\frac{11}{10})^n\)
বা, \((\frac{11^2}{10^2}) = (\frac{11}{10})^n\)
বা, \((\frac{11}{10})^2 = (\frac{11}{10})^n\)
বামপক্ষ ও ডানপক্ষ তুলনা করে পাই,
বা, n = 2
উত্তর- নির্ণেয় সময় 2 বছর।
আরো পড়ো → আয় আরো বেধে বেধে থাকি কবিতার প্রশ্ন উত্তর
7) 3 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 6250 টাকার 9 মাসের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?
আমরা জানি, p টাকার \(r\%\) হারে n বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ আসল হবে,
\(A=p(1+\frac{r}{100})^{n}\)
যেখানে A = সুদ আসল, P = আসল, r = সুদের হার \((\%)\), n = সময়
এখন, \(n = \frac{9}{12}= \frac{3}{4}\) ও সুদ 3 মাস অন্তর প্রদেয় হওয়ায় 3 মাসে সুদের হার হবে = \(\frac{10}{4}= 2.5\%\)
∴ নির্ণেয় সুদাসল
\(A=p(1+\frac{r}{100})^{n}\) টাকা
বা, \(A = 6250\times (1+\frac{2.5}{100})^{3}\) টাকা
বা, \(A = 6250\times (\frac{100+2.5}{100})^{3}\) টাকা
বা, \(A = 6250\times (\frac{102.5}{100})^{3}\) টাকা
বা, \(A = 6250\times \frac{102.5}{100}\times \frac{102.5}{100}\times \frac{102.5}{100}\) টাকা
বা, \(A = 6730.56644\) টাকা
সুদ = \((6730.56644 – 6250)\) টাকা
\(480.56644\) টাকা
উত্তর \(480.57\) প্রায়।
সমহার বৃদ্ধি ও হ্রাস (6.2)
1) পাড়ার একটি লেদ কারখানার একটি মেশিনের মুল্য প্রতি বছর 10% হ্রাস প্রাপ্ত হয়। মেশিনটির বর্তমান মূল্য 100000 টাকা হলে, 3 বছর পরে ওই মেশিনটির মূল্য কত হবে?
সমাধান- এখন প্রশ্নানুসারে,
মেশিনটির বর্তমান মূল্য p = 100000 টাকা
মেশিনটির মূল্যের হ্রাসের হার r= \(10\%%\)
মোট সময়সীমা (n) = 3 বছর
আমরা জানি,
N সময় পর \(r\%\) হ্রাসে মেশিনটির মূল্য হবে \((a)\)= \(p(1-\frac{r}{100})^{n}\)
বা, \(a = 100000\times (1-\frac{10}{100})^{3}\)
বা, \(a = 100000\times (\frac{100-10}{100})^{3}\)
বা, \(a = 100000\times (\frac{90}{100})^{3}\)
বা, \(a = 72900\)
উত্তর-: তবে মেশিনটির বর্তমান মূল্য হবে = 72900 টাকা।
আরো পড়ো → পরিবেশের জন্য ভাবনা অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর
2) কোনো এক জেলার সমস্ত মাধ্যমিক শিক্ষাকেন্দ্রের (M.S.K) বর্তমান শিক্ষার্থীর সংখ্যা 3993 জন। প্রতি বছর বিগত বছরের তুলনায় যদি 10% শিক্ষার্থী বৃদ্ধি পেয়ে থাকে, তবে 3 বছর পূর্বে ওই জেলার সকল মাধ্যমিক শিক্ষাকেন্দ্রের শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত ছিল?
সমাধান- বর্তমান শিক্ষার্থীর সংখ্যা p = 3993 জন
শিক্ষার্থীর বৃদ্ধির হার r= \(+10\%\)
সময় (n) = 3 বছর
n বছর পর \(+r\%\) হারে শিক্ষার্থীর সংখ্যা (a)= \(p(1+\frac{r}{100})^{n}\)
∴ $latex 3993 = p(1+\frac{10}{100})^{3}$
বা, \(3993 = p(\frac{100+10}{100})^{3}\)
বা, \(3993 = p(\frac{110}{100})^{3}\)
বা, \(3993 = p \times \frac{1331}{1000}\)
বা, \(p = \frac{3993\times 1000}{1331}\)
বা, \(p = 3000\)
উত্তর-: ওই জেলার সকল মাধ্যমিক শিক্ষাকেন্দ্রের শিক্ষার্থীর সংখ্যা 3000 জন ছিল।
আরো পড়ো → সঙ্ঘবদ্ধতার গোড়ার কথা – বৈশিষ্ট্য ও বিশ্লেষণ অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর
3) ধূমপান বিরোধী প্রচারের ফলে প্রতি বছর ধূমপায়ীর সংখ্যা \(6\frac{1}{4}\%\) হারে হ্রাস পায়। বর্তমানে কোনো শহরে 33750 জন ধূমপায়ী থাকলে, 3 বছর পূর্বে ওই শহরে কত জন ধূমপায়ী ছিল?
সমাধান- ধূমপান বিরোধী প্রচারের ফলে প্রতি বছর ধূমপানকারীর সংখ্যা \(6\frac{1}{4}\%\) হারে হ্রাস পায়।
বর্তমানে ধূমপানকারীর সংখ্যা 33750 জন।
মনে করি, 3 বছর আগে ধূমপান করত = x জন
∴ 3 বছরে \(6\frac{1}{4}\%\) হারে কমেছে ধূমপানকারীর সংখ্যা।
∴ বর্তমানে ধূমপানকারীর সংখ্যা কমে দাঁড়িয়েছে \(= x(1-\frac{\frac{25}{4}}{100})^3\) [ আমরা জানি সমহার হ্রাসের সূত্র= \(p(1-\frac{r}{100})^n\)]
প্রশ্নানুসারে,
\(x (1-\frac{\frac{25}{4}}{100})^3 = 33750\)
বা, \(x(\frac{400-25}{400})^3 = 33750\)
বা, \(x\times (\frac{375}{400})^3 = 33750\)
বা, \(x \times \frac{375}{400}\times \frac{375}{400}\times \frac{375}{400}= 33750\)
বা, \(x = 33750 \times \frac{16}{15}\times \frac{16}{15}\times \frac{16}{15}\)
= 16 × 16 × 16 × 10
= 2560 × 16
বা, x = 40960
উত্তর- 3 বছর আগে শহরে 40960 জন ধূমপানকারী ছিল।
আরো পড়ো → আয় আরো বেঁধে বেঁধে থাকি কবিতার প্রশ্ন উত্তর
WBPorashona.com-এর পোস্ট আপডেট নিয়মিত পাবার জন্য –
- সাবস্ক্রাইব করো → YouTube চ্যানেল
- লাইক করো → Facebook পেইজ
- সাবস্ক্রাইব করো → টেলিগ্রাম চ্যানেল
আমাদের কাজ থেকে উপকৃত হলে এই লেখাটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।
