ভেদ অধ্যায়ের গাণিতিক সমস্যার সমাধান । Variation solution

মাধ্যমিক পরীক্ষার ভীতি কাটাবার সেরা উপায়!↓

madhyamik-chapter-test
ved
শ্রেণি – দশম | বিভাগ – গণিত | অধ্যায় – ভেদ (Variation) | ved (Chapter 13)

এই পর্বে রইল দশম শ্রেণির ভেদ অধ্যায়ের কষে দেখি 13 থেকে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার আলোচনা।

1। তোমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দেওয়া হল এবং প্রত্যেকে 5 টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় কর।
সমাধান, ধরি, শিশুর সংখ্যা = A ও প্রত্যেকের প্রাপ্ত সন্দেশ সংখ্যা = B
∴ B, A এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে কারণ শিশুর সংখ্যা বাড়লে, প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশ সংখ্যা কমবে।
∴ \(B \propto \frac{1}{A}\) বা, \(B =\frac{k.1}{A}\) [$k =$ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] ………..(1)
প্রশ্নানুসারে, A = 24, B = 5
∴ (1) নং সমীকরণ থেকে পাই, \(5 = k\frac{1}{24}\)
বা, \(k = 5 \times 24\)
∴ $k = 120$
∴ \(B =\frac{120}{A}\) [(1) নং সমীকরণে k এর মান বসিয়ে পাই]
এখন, \(A = (24 – 4) = 20\)
∴ \(B =\frac{120}{20} = 6\)
উত্তরঃ প্রত্যেকে 6টি সন্দেশ পেত।

আরো পড়ো → গোলক অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

2। x, y–এর সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং z এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y = 5 ও z = 9 হলে \(x = \frac{1}{6}\) হয়। x, y ও z–এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর এবং y = 6 ও \(z =\frac{1}{5}\) হলে, x–এর মান হিসাব কর।
সমাধান, x, y এর সঙ্গে সরলভেদে ও z এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে।
∴ \(x \propto \frac{y}{z}\) [y, z উভয় পরিবর্তনশীল] \(x = k\frac{y}{z}\) [k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] ………..(1)
প্রশ্নানুসারে, y = 5, z = 9 হলে, \(x =\frac{1}{6}\) হয়
∴ \(\frac{1}{6}= k\frac{5}{9}\)
বা, \(k =\frac{1}{6} \times \frac{9}{5} =\frac{3}{10}\)
∴ \(k = \frac{3}{10}\)
∴ \(x =\frac{3}{10}\frac{y}{z}\) [(1) নং সমীকরণ থেকে পাই]
∴ \(y = 6, z =\frac{1}{5}\) হলে, \(x =\frac{3}{10}\times \frac{6}{\frac{1}{5}} = 9\)
∴ \(x =\frac{3y}{10z}\) ও \(y = 6, z =\frac{1}{5}\) হলে, x = 9
উত্তরঃ নির্ণেয় মান 9

আরো পড়ো → বিকল্প চিন্তা উদ্যোগ অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

3। \(a^2 + b^2 \propto ab\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(a + b \propto a – b\)
সমাধান, \(a^2 + b^2 \propto ab\)
বা, \(a^2 + b^2 = kab\) [k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, \(a^2 + 2ab + b^2 = kab + 2ab\)
বা, \((a + b)^2 = ab(k + 2)\) —(1)
আবার,
\(a^2 + b^2 = kab\)
বা, \(a^2 – 2ab + b^2 = kab – 2ab\)
বা, \((a – b)^2 = ab(k – 2)\) —(2)
(1) নং সমীকরণকে (2) নং সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই,
\(\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} =\frac{ab(k+2)}{ab(k-2)}\)
বা, \(\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} =\frac{k+2}{k-2}= k_1\) [যেখানে,\(k_1 =\frac{k+2}{k-2}\neq 0\)]
বা, \((a + b)^2 = k_1 (a – b)^2\)
বা, \((a + b) = \sqrt {k_1}(a – b)\)
∴ \((a + b) \propto (a – b)\) [\(\sqrt{k_1} =\) ধ্রুবক \(\neq 0\)] [প্রমাণিত]

আরো পড়ো → বৃদ্ধি ও বিকাশ অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

4। চোঙের আয়তন, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 হলে, ওদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর।
সমাধান, ধরি, চোঙের আয়তন = V, ভূমির ব্যাসার্ধ = R, উচ্চতা = H
∴ প্রশ্নানুসারে,
\(V \propto R^2H\)
∴ \(V = KR^2H\) —(1) [K = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
ধরি, চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 2r ও 3r একক, উচ্চতা যথাক্রমে 5h, 4h একক এবং আয়তন যথাক্রমে \(v_1, v_2\) ঘনএকক
∴ (1) নং সমীকরণ থেকে পাই, \(v_1 = K. (2r)^2.5h = K.20r^2h\)
ও \(v_2 = K. (3r)^2.4h = K.36r^2h\)
∴ \(\frac{v_1}{v_2} =\frac{K.20.r^2h}{K.36r^2h}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}\)
উত্তরঃ তাদের আয়তনের অনুপাত = 5 : 9

আরো পড়ো → Our Runaway Kite Question Answer

5। পাঁচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় কর।
সমাধান, ধরি, জমির পরিমাণ = x, লাঙল সংখ্যা = y, দিনসংখ্যা = d
লাঙলের সংখ্যা ধ্রুবক থাকলে জমির পরিমাণ ও চাষের দিনসংখ্যা সরলভেদে থাকে,
∴ \(x \propto d\), (যখন y ধ্রুবক)
ও চাষের দিনসংখ্যা ধ্রুবক থাকলে জমির পরিমাণ ও লাঙল সংখ্যা সরলভেদে থাকে,
∴ \(x \propto y\), (যখন d ধ্রুবক)
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে \(x \propto dy\), (যখন d, y উভয়েই পরিবর্তনশীল)
∴ \(x = kdy\) [k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
প্রশ্নানুসারে, x = 2400, y = 25 হলে d = 36
∴ \(2400 = k. 25 \times 36\)
বা, \(k = \frac{2400}{25 \times 36}= \frac{8}{3}\)
∴ \(x =\frac{8}{3}dy\) [(1) নং থেকে পাই]
\(x = 1200, d = 30\) হলে, $1200 =\frac{8}{3} \times 30 y$
বা, \(y = 15\)
উত্তরঃ 1 টি ট্রাক্টর 15 টি লাঙলের সমান।

আরো পড়ো → ভারতের স্বাভাবিক উদ্ভিদ অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তর

WBPorashona.com-এর পোস্ট আপডেট নিয়মিত পাবার জন্য –


আমাদের কাজ থেকে উপকৃত হলে এই লেখাটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।

WBP-YT-Banner